当方の互換機では書き込めましたね (以前にやっているので当たり前と言えば当たり前ですが)。
https://twitter.com/ht_deko/status/900537042060197888

で、試して欲しいのは、

1.ブートローターを書き込む配線にする。
2.ブートローダーをもう一度書き込む。
3.この配線で一旦スケッチを書き込む ( [スケッチ | 書き込み装置を使って書き込む] )。
4.スケッチを書き込む配線にする (ATMega328P を抜いた構成)
5.スケッチを普通に書き込む ([マイコンボードに書き込み] ボタンを使ってスケッチを書き込む)。

上記手順です。ひょっとするとコレでイケるかもしれません。

3.の手順については ↓
http://ht-deko.com/arduino/atmega328p.html#05

ATMega328P を抜いた UNO を書き込み機に使わない…つまり別の USB<->シリアル変換モジュールを使う場合には RESET<->DTR (RTS) 間に 0.1μF コンデンサがないと動作が不安定だったハズですが、取り付けてらっしゃいますか？

引用 DEKO on 2017/08/24 11:32 Thu
ATMega328P を抜いた UNO を書き込み機に使わない…つまり別の USB<->シリアル変換モジュールを使う場合には RESET<->DTR (RTS) 間に 0.1μF コンデンサがないと動作が不安定だったハズですが、取り付けてらっしゃいますか？

←はい。
記事にあったので、この場合のケースではコンデンサを挟んで
行います。

引用 DEKO on 2017/08/24 11:02 Thu
当方の互換機では書き込めましたね (以前にやっているので当たり前と言えば当たり前ですが)。
https://twitter.com/ht_deko/status/900537042060197888

で、試して欲しいのは、

1.ブートローターを書き込む配線にする。
2.ブートローダーをもう一度書き込む。
3.この配線で一旦スケッチを書き込む ( [スケッチ | 書き込み装置を使って書き込む] )。
4.スケッチを書き込む配線にする (ATMega328P を抜いた構成)
5.スケッチを普通に書き込む ([マイコンボードに書き込み] ボタンを使ってスケッチを書き込む)。

上記手順です。ひょっとするとコレでイケるかもしれません。

3.の手順については ↓
http://ht-deko.com/arduino/atmega328p.html#05

←実行して見ました。少し長いですが。
スケッチ・Blinkがインストールされて居る
ATMEGA328P-PUに、以下の操作をします
ラインは
PC－[Elegoo UNO R3]-B/Bパターンのユニバーサル基板上「もどき」回路ATMEGA328P-PU

電源ONでBlink(19pinLED)点滅確認

一旦、（1）の結線を解除

1.ブートローターを書き込む配線にする。
　結線状態
　　Elegoo 　もどき
　　10ピン－＞リセット
　　11　　－＞17pin
　　12　　－＞18
　　13　　－＞19
　　Vcc5V－＞Vcc
　　GND　－＞GND

2.ブートローダーをもう一度書き込む。
　（1）の結線を解除後、Elegooにスケッチ[ArduinoISP]を読み込む
結線（1)をセットし、
[ツール]-[ボード]；Arduino UNO
[ツール]-[シリアルポート]；接続のCOMにチェックマーク
[ツール]-[書込装置]；Arduino as ISP
[ツール]-[ブートローダを書き込む]を実行

3.この配線で一旦スケッチを書き込む ( [スケッチ | 書き込み装置を使って書き込む] )。
　　実行
　　書き込んだスケッチの動作を確認した。

4.スケッチを書き込む配線にする (ATMega328P を抜いた構成)
　　結線状態
　　Elegoo 　　もどき
　　　0ピン－＞　2ピン
　　　1ピン－＞　3ピン
　　　リセット－0.1μコンデンサ－1ピン
　　　Vcc　－＞　Vcc
　　　GND－＞　GND
5.スケッチを普通に書き込む ([マイコンボードに書き込み] ボタンを使ってスケッチを書き込む)。

　　実行時のエラーメッセージ
－－－－－－－－－－－－－－－
Arduino：1.8.3 (Windows 10), ボード："Arduino/Genuino Uno"

最大32256バイトのフラッシュメモリのうち、スケッチが928バイト（2%）を使っています。
最大2048バイトのRAMのうち、グローバル変数が9バイト（0%）を使っていて、ローカル変数で2039バイト使うことができます。
C:\Program Files\Arduino\hardware\tools\avr/bin/avrdude -CC:\Program Files\Arduino\hardware\tools\avr/etc/avrdude.conf -v -patmega328p -carduino -PCOM5 -b115200 -D -Uflash:w:C:\Users\◎△□\AppData\Local\Temp\arduino_build_192459/Blink.ino.hex:i
スケッチの書き込み中にエラーが発生しました

avrdude: Version 6.3, compiled on Jan 17 2017 at 12:00:53
Copyright (c) 2000-2005 Brian Dean, http://www.bdmicro.com/
Copyright (c) 2007-2014 Joerg Wunsch

System wide configuration file is "C:\Program Files\Arduino\hardware\tools\avr/etc/avrdude.conf"

Using Port : COM5
Using Programmer : arduino
Overriding Baud Rate : 115200
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 1 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 2 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 3 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 4 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 5 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 6 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 7 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 8 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 9 of 10: not in sync: resp=0xe6
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 10 of 10: not in sync: resp=0xe6

avrdude done. Thank you.

マイコンボードに書き込もうとしましたが、エラーが発生しました。
このページを参考にしてください。
http://www.arduino.cc/en/Guide/Troubleshooting#upload

「ファイル」メニューの「環境設定」から
「より詳細な情報を表示する：コンパイル」を有効にすると
より詳しい情報が表示されます。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
以上。

ここまでは、この方法のいつものパターンです。

次に
FT232RQをつなぎます
ラインは
PC-FT232RQ－もどき
結線
　FT232RQ　　もどき
　GND　－＞　　GND
　CTS　－＞　　GND　（Pro miniのGNDにつないで動作するので「もどき」もGNDにつないだ）
　5V　　－＞　　Vcc
　TX 　－＞　　 RX
　RX　　－＞　　TX
　RTS－＞0.1μコンデンサ－＞1ピン

[CTS].[RTS]の扱いがハッキリしませんが、
Pro miniにつないだときは、CTSはGNDにつないで動作しています

実行結果は、エラーで書き込めません。

－－－－－－－－－－－－－エラーメッセージ

Arduino：1.8.3 (Windows 10), ボード："Arduino/Genuino Uno"

最大32256バイトのフラッシュメモリのうち、スケッチが928バイト（2%）を使っています。
最大2048バイトのRAMのうち、グローバル変数が9バイト（0%）を使っていて、ローカル変数で2039バイト使うことができます。
C:\Program Files\Arduino\hardware\tools\avr/bin/avrdude -CC:\Program Files\Arduino\hardware\tools\avr/etc/avrdude.conf -v -patmega328p -carduino -PCOM6 -b115200 -D -Uflash:w:C:\Users\◎△□\AppData\Local\Temp\arduino_build_192459/Blink.ino.hex:i

avrdude: Version 6.3, compiled on Jan 17 2017 at 12:00:53
Copyright (c) 2000-2005 Brian Dean, http://www.bdmicro.com/
Copyright (c) 2007-2014 Joerg Wunsch

System wide configuration file is "C:\Program Files\Arduino\hardware\tools\avr/etc/avrdude.conf"

Using Port : COM6
Using Programmer : arduino
Overriding Baud Rate : 115200
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 1 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 2 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 3 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 4 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 5 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 6 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 7 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 8 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 9 of 10: not in sync: resp=0xbc
avrdude: stk500_recv(): programmer is not responding
avrdude: stk500_getsync() attempt 10 of 10: not in sync: resp=0xbc

avrdude done. Thank you.

マイコンボードに書き込もうとしましたが、エラーが発生しました。
このページを参考にしてください。
http://www.arduino.cc/en/Guide/Troubleshooting#upload

「ファイル」メニューの「環境設定」から
「より詳細な情報を表示する：コンパイル」を有効にすると
より詳しい情報が表示されます。
－－－－－－－－－－－－－－以上、メッセージ

という実情で、
疑問がまた､上書きされました。

Pro miniに繋ぎスケッチを戻したら
今も目の前で、Blinkが動作しています。
青のLEDがキレイです。小さくいいですね。

お相手頂きましたが、
ここ暫く、こういった状態で、実際は上手く行かない事も有ります。
スケッチ書込の方法は
ブートローダー書き込みの手法で書き込めるの、何も使えないと言うことでは
有りません。
また、
Webで紹介されていたPro miniは、USBシリアルインターフェースが要るとはいえ
ほぼ郵便切手大で、UNOと同じ動作をする様です。
I/Oピンをすべて使ったスケッチなどを使う事も有りませんし
現状、それ程の能力も有りません。
Pro miniでも、1602LCDにI2ｃで信号を送れる事も確認しているので、
もう。Pro miniで事足りる気もいたします。
まだ、組み込み回路を作れないので、
スケッチの書込はArduinoをいじる場合、頻繁です。
ですので
お勧めではない様ですが、私の場合はNANOでも良さそうです。
NANOなら、USBケーブルで足ります。
Windows10なら、ドライバの問題も無さそうです
有っても、ドライバをインストールすれば良さそうですし。
安定に動作すれば､良いのです。
NANOはまだ、試してませんが。

いろいろお時間、頂戴しましたが、

結論は『互換機だからだろう』で収めましょう。

Elegooのサポートにも、メールしましたが、
とんちんかんな返答が一度有っただけで、こちらの問題は全く解消されません。
純正品は使って無いので、なんとも100％では判断出来ませんが、

これは、いわゆる「互換機の問題」かもしれません。（スッキりしませんが・・・・）

『地図があったので、実際行ってみたら、道が通れなかった』
脇道があった、脇道を通れたので、事故にも遭わず、実際は問題はなかった。
でも試す（実際に行ってみるまでは）までは、判らないことだったので、ひとつ経験を積んだ。
今回の場合は、本道が通れて、脇道はダメだったので、また本堂に戻ったという
事ですが・・・

と言うことでしょう。

ありがとうございました。

引用 DEKO on 2017/08/24 17:44 Thu
FT232RQ で Pro Mini に問題なく書き込めるという事は、ブレッドボード側に問題があるとしか思えません。

下は Pro Mini の回路図です。
https://www.arduino.cc/en/uploads/Main/Arduino-Pro-Mini-schematic.pdf

ブレッドボードで組んだ回路がこれと同等になっていれば、少なくとも FT232RQ で書き込めない道理はありません。
(ATMega328P を抜いた UNO R3 互換機なら "相性" もあるのかもしれませんが)

Pro Mini から不要な部分を取り除くとこうなります。ブレッドボードの回路と同じになるハズです。

←　はい。
今も､目の前で基板をみていますが　1ピンの部分は､全くこの通りになってます。
10ｋΩとタクトSWでフルアップ回路を作り（リセットが機能するのはこの基板上でスケッチ動作時確認済み）
同時にスケッチ書込時には「1ピン→0.1μコンデンサ→FT232RQのRTS端子」です
[ DTR ] となっていますが、私はFT232RQのRTSにつないでいます。
間違いありません。そういう風にハンダ付けしてあります。ハンダの問題も
有るかと、テスタで導通もチェック済みです。
（コンデンサがパンクでもしていない限りは・・）
ここは、DEKOさんは、何度も指摘されています。その通りです。
B/B上のATMEGA328P-PUのピン；クリスタルは9ピン10ピンに。コンデンサでGNDに。
ですから、
『おかしな事』だと言うのです。
あなたも納得されないでしょうが、私も全く納得出来ないのです・・・
全く、ご教授の通りに作ってあるのですから。

ブートローダー書き込み時は、リセットの接続は
UNO互換機の10ピンからの線をATMEGA328P-PUの1番ピンに直につないでます。

FT232RQを使ってのスケッチ書込時
結線
　FT232RQ　　もどき（B/B基板）
　GND　－＞　　GND
　CTS　－＞　　GND　（Pro miniのGNDにつないで動作するので「もどき」もGNDにつないだ）
　5V　　－＞　　Vcc
　TX 　－＞　　 RX
　RX　　－＞　　TX
　RTS－＞0.1μコンデンサ－＞1ピン
これは、これで良いのでしょうか？
尤も、この接続ではエラーで書き込めませんでしたが・・

それともCTSは、浮かせ(どこにもつながない）のでしょうか？
尤も、このどこにもつながないのも良く無さそうですが・・・プルアップかフルダウンにして措かないと？

どうもお疲れさまです。