ダウンロードにおけるレジューム機能とは，途中でダウンロードを中断した時に，
次回，残りの分を，同じファイルに追加してダウンロードすることです．
あまり使う機会はないとは思いますが，テストしてみました．

テストには，私のサイトのサンプルの [773] [03_FTP サーバからダウンロード ( TIdThreadComponent 使用 )]
を使用しました．そのサンプルの以下のイベントのコード部分だけ変更してテストしています．
http://mrxray.on.coocan.jp/Delphi/plSamples/773_Indy_FTPGetPut.htm#03

最初のダウンロードで，中断し，再度ダウンロードしています．
残りの分だけダウンロードしているので，プログレスバーが途中で止まっています．
必要であれば，適当に修正してください．
説明は省略します．これも必要であれば訊いてください．
動作確認環境は，Windows 7 U64(SP1) + Delphi XE Pro です．

//=============================================================================
//  SourcFile : ダウンロードするサーバ上のファイル名
//  DestFile  : ダウンロード後のファイル名
//  TFileの使用には，usesにIOUtilsが必要
//=============================================================================
procedure TForm1.IdThreadComponent1Run(Sender: TIdThreadComponent);
var
  DestFile : String;
begin
  DestFile := ExtractFilePath(Application.ExeName) + 'XXXXX';

  try
    try
      if TFile.Exists(DestFile)  then begin
        IdFTP1.Get(SourceFile, DestFile, False, True);
      end else begin
        IdFTP1.Get(SourceFile, DestFile);
      end;
      Panel2.Caption := 'ダウンロード終了';
    except
      Panel2.Caption := 'ダウンロード中止';
    end;
  finally
    //Terminateしてから次の作業をしないとファイルの中身消滅
    IdThreadComponent1.Terminate;
    if IdFTP1.Connected then begin
      IdFTP1.Abort;
      IdFTP1.Disconnect;
    end;
    Screen.Cursor := crDefault;
  end;
end;

TMemoryStream を使用する場合は，例えば次のようになるかも知れません．

procedure TForm1.IdThreadComponent1Run(Sender: TIdThreadComponent);
var
  DestFile : String;
  AStream  : TMemoryStream;
begin
  DestFile := ExtractFilePath(Application.ExeName) + 'XXXXXX';

  AStream := TMemoryStream.Create;
  if TFile.Exists(DestFile)  then begin
    AStream.LoadFromFile(DestFile);
  end;
  AStream.Position := AStream.Size;

  try
    try
      IdFTP1.Get(SourceFile, AStream, True);
      Panel2.Caption := 'ダウンロード終了';
    except
      Panel2.Caption := 'ダウンロード中止';
    end;
  finally
    AStream.SaveToFile(DestFile);
    //Terminateしてから次の作業をしないとファイルの中身消滅
    IdThreadComponent1.Terminate;
    if IdFTP1.Connected then begin
      IdFTP1.Abort;
      IdFTP1.Disconnect;
    end;
    FreeAndNil(AStream);
    Screen.Cursor := crDefault;
  end;
end;